doc. Ing. Marek Brandner, Ph.D.

Student se seznámí se základními principy modelování a simulace proudění v otevřených kanálech. Ve spolupráci s vedoucím práce navrhne vhodné algoritmy pro simulaci říčního proudění. Algoritmy podobného typu jsou využívány při hydrologických předpovědích a v počítačové grafice.

Ing. Hana Kopincová, Ph.D.

Úlohy na hledání optimální hodnoty (minima nebo maxima) se vyskytují snad ve všech vědních oborech a jejich součástí je, mimo jiné, i volba vhodné numerické metody, která najde dostatečně rychle a zároveň dostatečně přesně aproximaci hledaného optima. Součástí těchto metod bývají i optimalizace reálných funkcí jedné reálné proměnné. Cílem je seznámit se s různými metodami, které umožňují najít optimum těchto funkcí, a implementovat je.

doc. RNDr. Petr Stehlík, Ph.D.

Cílem je představit zajímavé vlastnosti vybraných celočíselných posloupností. Pozornost bude věnována rozdílným způsobům zadání, modifikacím základních definic, vhodné vizualizaci, historii, možným aplikacím a vztahům s dalšími matematickými objekty.

doc. RNDr. Petr Stehlík, Ph.D.

Buněčné automaty jsou jednoduché dynamické systémy, které umožňují konstrukci matematických modelů na základě lokálních pravidel. Pro matematiky jsou atraktivní pro široké spektrum chování, v aplikacích (zejména ekonomii či biologii) pak umožňují studium ovlivnění globálních jevů ze změn lokálního chování. Cílem práce bude analýza chování vybraného modelu.

RNDr. Petr Tomiczek, CSc.

Komplexní čísla se neobjevila v matematice kvůli řešení kvadratických rovnic. Prvním úkolem studenta bude popsat historii jejich vzniku a postupné zavedení do matematiky. Druhým cílem bude ukázat aplikace komplexních čísel při řešení problémů – popis posunutí a otáčení, řešení polynomiálních, popř. diferenciálních rovnic, vztah k fraktálům.

RNDr. Petr Tomiczek, CSc.

K základním pojmům v matematice patří funkce. Úkolem studenta bude přiblížit historii jejich vzniku, popsat jejich praktické aplikace. Dalším cílem práce bude hledat jejich vzájemné vztahy a vlastnosti - komplexní jednotka, Taylorova řada, Fourierova řada.

doc. RNDr. Jan Vršek, Ph.D., prof. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D.

Vynecháním pátého Euklidova postulátu získáme geometrii, v níž lze bodem vést nekonečně mnoho rovnoběžek s danou přímkou. Nebo ekvivalentně: součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je menší než 180° či existuje trojúhelník, jemuž nelze opsat kružnici. Cílem projektu je studovat modely této geometrie.

doc. RNDr. Jan Vršek, Ph.D., prof. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D.

Čísla ve tvaru a + bi jsou známá pod názvem komplexní čísla. V polovině 19. století sestrojil W. R. Hamilton čísla se třemi imaginárními složkami, tzv. kvaterniony, ve tvaru a + bi + cj + dk. Ukazuje se, že tyto objekty jsou velice vhodné k popisu prostorových rotací, díky čemuž jsou v dnešní době hojně využívané např. v počítačové grafice či kinematice. Studium těchto aplikací bude náplní projektu.

doc. RNDr. Jan Vršek, Ph.D., prof. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D.

Z analytické geometrie znáte přímky popsané lineárními rovnicemi a kuželosečky (např. kružnici) dané rovnicemi kvadratickými. O jeden stupeň výše se nalézají kubické křivky, mezi něž patří křivky eliptické. Ty se vynořují na mnoha místech teoretické matematiky. Cílem projektu, po seznámení se se základy teorie eliptických křivek, je porozumění aimplementace algoritmu šifrování, který tuto teorii využívá.

doc. RNDr. Jan Vršek, Ph.D., prof. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D.

Fraktály jsou na první pohled jedny z nejsložitějších tvarů, jež geometrie zkoumá. Překvapivě je však velice jednoduché je sestrojit iterativním opakováním jednoduchého procesu. Řadu přírodních tvarů lze modelovat právě pomocí fraktálů. Cílem projektu je pochopit, co je fraktální geometrie a fraktál, popsat jejich vybrané vlastnosti, popř. kde se vyskytují, a zabývat se vybranými konstrukcemi.

Mgr. Radek Výrut

Student si vyzkouší řešení zajímavých geometrických úloh užitím omezených prostředků (např. jen užitím pravítka a kružítka) či řešení úloh na omezené průmětně (např. vedení přímky nedostupným bodem). Seznámí se s teorií potřebnou k pochopení tématu a navrhne nové třídy úloh.

RNDr. Vladimír Švígler, Ph.D.

Evoluční teorie her popisuje a modeluje podmínky, za kterých v lidských nebo biologických populacích vzniká, resp. zaniká, spolupráce. Cílem práce je pochopení těchto modelů, jejich případná modifikace a simulace.

RNDr. Vladimír Švígler, Ph.D.

Populační modely jsou jednoduché matematické modely popisující vývoj biologických populací. Cílem práce je popis některého ze známých populačních modelů a jeho případné rozšíření.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Problém čtyř barev je jednou z nejstarších otázek teorie grafů a jeho dosud známá řešení jsou založena na intenzívním využití počítače. Student/ka se seznámí s ideou použitého přístupu a aplikuje jej na některou jednodušší otázku.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Téma leží na pomezí lineární algebry a teorie grafů. Vlastní čísla grafů mají řadu pozoruhodných vlastností a používá je také algoritmus PageRank, podle kterého Google řadí webové stránky podle důležitosti. Cílem práce je pochopení základů teorie vlastních čísel grafů a vlastní implementace obdobného algoritmu.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Uzly (jako je třeba dračí smyčka) zkoumá z matematického pohledu teorie uzlů. K rozlišení uzlů, které na sebe nejsou vzájemně převoditelné, používá vhodné invarianty – typicky čísla nebo polynomy, které jsou uzlům jednoznačně přiřazeny. Student/ka se seznámí se základy teorie uzlů a implementuje výpočet některého z invariantů.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Účelem samoopravných kódů je zajistit bezchybný přenos informace v prostředí, kde chyby přirozeně vznikají – například při odesílání fotografie z družice, při komunikaci v síti nebo při přehrávání CD disků. Cílem práce je seznámit se se základy teorie kódů, implementovat kódování s použitím vybraného kódu a prakticky ověřit jeho přínos.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Jednou z oblastí použití grafů pro modelování jsou dopravní aplikace. Vzdálenost v grafu v takovém případě může odpovídat vzdálenosti dvou míst v silniční síti. Postupy pro její rychlé určení jsou základem pro algoritmy plánování trasy v navigačních přístrojích. Student/ka se seznámí se základními algoritmy pro tento účel a jeden z nich implementuje.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Ramseyova teorie se zabývá tvrzeními následujícího typu: V každé dost velké skupině existuje buď 100 osob, z nichž se každé dvě znají, nebo 100 osob, z nichž se žádné dvě neznají. Cílem práce je seznámit se s vybranými poznatky Ramseyovy teorie v geometrii nebo teorii čísel a přehledně je shrnout.

prof. RNDr. Tomáš Kaiser, DSc.

Jedním ze základních problémů výpočetní geometrie je problém překrytí map. Každá z map je reprezentována množinou úseček, výsledkem je mapa, kterou získáme jejich sloučením a přidáním všech průsečíků. Student/ka se seznámí s algoritmy pro řešení tohoto problému, implementuje je a provede porovnání jejich časové náročnosti.

doc. Ing. Roman Čada, Ph.D.

Po dohodě se studentem vybere vedoucí práce vhodný kombinatorický problém, který bude odpovídat studentovým znalostem a časovým možnostem. Student a vedoucí budou spolupracovat na řešení tohoto problému s využitím teoretických poznatků a počítačových výpočtů. Během práce na projektu student získá pokročilé znalosti z kombinatoriky, základní představu o návrhu algoritmů a jejich rychlosti. V rámci spolupráce se student naučí základy programování v jazyce Python a vyzkouší si používání matematických nástrojů SageMath nebo Gurobi.